Question

10．已知函數(shù)f（x）=kx²，g（x）=lnx
（Ⅰ）求函數(shù)$h（x）=\frac{g（x）}{x}$的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，求k的取值范圍；
（Ⅲ）求證：$\frac{ln2}{2^4}+\frac{ln3}{3^4}+…+\frac{lnn}{n^4}＜\frac{1}{2e}，n∈N*，且n≥2$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可；
（Ⅱ）分離參數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為求R（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$的最大值，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知$\frac{lnx}{x^2}≤$$\frac{1}{2e}$，得到$\frac{lnx}{x^4}＜$$\frac{1}{2e}$$•\frac{1}{x^2}$，（x≥2），放縮法證明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$h（x）=\frac{lnx}{x}$（x＞0）∴$h'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，
令h'（x）＞0，得0＜x＜e，
故函數(shù)$h（x）=\frac{lnx}{x}$的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，e）（3分）
（Ⅱ）由$kx≥\frac{lnx}{x}，得k≥\frac{lnx}{x^2}，令R（x）=\frac{lnx}{x^2}$，
則問題轉(zhuǎn)化為k大于等于R（x）的最大值，
又 $R'（x）=\frac{1-2lnx}{x^3}$（6分）
令 $R'（x）=0，x=\sqrt{e}$
當(dāng)x在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)變化時，R'（x）、R（x）變化情況如表：

x	（0，$\sqrt{e}$）	$\sqrt{e}$	（$\sqrt{e}$，+∞）
R'（x）	+	0	-
R（x）	↗	$\frac{1}{2e}$	↘

由表知當(dāng)$x=\sqrt{e}$時，函數(shù)R（x）有最大值，且最大值為$\frac{1}{2e}$（8分），
因此k≥$\frac{1}{2e}$（9分）
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知$\frac{lnx}{x^2}≤$$\frac{1}{2e}$，∴$\frac{lnx}{x^4}＜$$\frac{1}{2e}$$•\frac{1}{x^2}$，（x≥2），10分
∴$\frac{ln2}{2^4}+\frac{ln3}{3^4}+…+\frac{lnn}{n^4}＜\frac{1}{2e}$$（\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}）$，（12分）
又∵$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}＜\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{（n-1）n}，（n≥2）$
=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）=1-\frac{1}{n}＜1$
∴$\frac{ln2}{2^4}+\frac{ln3}{3^4}+…+\frac{lnn}{n^4}＜\frac{1}{2e}$（14分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道綜合題．