Question

1．在△ABC中，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且a、b、c成等比數(shù)列．
（1）求B的范圍
（2）求y=$\frac{sinB•cosB}{1+sinB+cosB}$的范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出，b²=ac，利用余弦定理，基本不等式求解cos∠B=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2ac}$-$\frac{1}{2}$≥$\frac{1}{2}$，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性得出答案．
（2）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$，由B∈（0，$\frac{π}{3}$]，可得B+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{12}$]，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求sin（B+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，即可得解y的范圍．

解答 解：（1）∵△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數(shù)列，
∴cos∠B=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，b²=ac，
∵a²+c²≥2ac（a=c等號成立），
∴$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2ac}$≥1，
∴cos∠B=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2ac}$-$\frac{1}{2}$≥$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，y=cosB單調(diào)遞減，
∴B∈（0，$\frac{π}{3}$]．
（2）y=$\frac{sinB•cosB}{1+sinB+cosB}$=$\frac{2sin\frac{B}{2}cos\frac{B}{2}cosB}{2cos\frac{B}{2}（sin\frac{B}{2}+cos\frac{B}{2}）}$=$\frac{sin\frac{B}{2}cosB}{sin\frac{B}{2}+cos\frac{B}{2}}$=$\frac{sin\frac{B}{2}cosB（cos\frac{B}{2}-sin\frac{B}{2}）}{cosB}$=$\frac{1}{2}$（sinB+cosB）-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$．
∵B∈（0，$\frac{π}{3}$]．B+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{12}$]，sin（B+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴y=$\frac{sinB•cosB}{1+sinB+cosB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$∈（0，$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$]．

點評 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了運用余弦定理，基本不等式求解，屬于中檔題．