Question

已知f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4（a，b，α，β為非零實(shí)數(shù)），f（2013）=5，求f（0）+f（1）+…+f（2014）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,函數(shù)的周期性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由f（2013）=5，可得-asinα-bcosβ+4=5，即asinα+bcosβ=-1，可得f（0）=asinα+bcosβ+4=3，f（1）=-asinα-bcosβ+4=5，f（2）=asinα+bcosβ+4=3，f（3）=-asinα-bcosβ+4=5，…，即可得出．

解答： 解：∵f（2013）=5，
∴asin（2013π+α）+bcos（2013π+β）+4=5，
化為-asinα-bcosβ+4=5，
∴asinα+bcosβ=-1，
∵f（0）=asinα+bcosβ+4=3，
f（1）=-asinα-bcosβ+4=5，
f（2）=asinα+bcosβ+4=3，
f（3）=-asinα-bcosβ+4=5，
…，
∴f（0）+f（1）+…+f（2014）
=[f（0）+f（2）+…+f（2014）]+[f（1）+f（3）+…+f（2013）]
=1008×3+1007×5
=8059．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、分類討論方法、分組數(shù)列求和、誘導(dǎo)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．