Question

6．已知函數(shù)f（x）=e^x+e^-x（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于x的不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{3}$]．

Answer 1

分析 利用參數(shù)分離法，將不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，進行轉(zhuǎn)化求最值問題，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：若關(guān)于x的不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，
即m（e^x+e^-x-1）≤e^-x-1，
∵x＞0，∴e^x+e^-x-1＞0，
即m≤$\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{x}+{e}^{-x}-1}$在（0，+∞）上恒成立，
設(shè)t=e^x，（t＞1），則m≤$\frac{1-t}{{t}^{2}-t+1}$在（1，+∞）上恒成立，
∵$\frac{1-t}{{t}^{2}-t+1}$=-$\frac{t-1}{（t-1）^{2}+（t-1）+1}$=-$\frac{1}{t-1+\frac{1}{t-1}+1}$≥-$\frac{1}{3}$，
當且僅當t=2時等號成立，
∴m≤-$\frac{1}{3}$．
故答案為：（-∞，-$\frac{1}{3}$]．

點評 本題主要考查函數(shù)恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和最值的求法，屬于中檔題．