Question

17．已知圓⊙O過三點A（-3，-4），B（3，4），C（5，0）．
（1）求⊙O方程．
（2）求過點（-5，-3）的圓⊙O的切線方程．
（3）過△ABC的重心T作⊙O互相垂直的兩條弦PQ，GH，求四邊形PGQH面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意，A，B，C到原點的距離為5，即可求⊙O方程．
（2）分類討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，求過點（-5，-3）的圓⊙O的切線方程．
（3）四邊形PGQH面積S=$\frac{1}{2}PQ×$GH=2PM×GN=$2\sqrt{25-O{M^2}}×\sqrt{25-O{N^2}}$，又$O{M^2}+O{N^2}={（\frac{5}{3}）^2}$，即可求出四邊形PGQH面積的最大值．

解答 解：（1）由題意，A，B，C到原點的距離為5，∴⊙O方程為x²+y²=25；
（2）斜率不存在時，x=-5，符合題意；
斜率存在時，設(shè)直線方程為y+3=k（x+5），即kx-y+5k-3=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{|5k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=5，∴k=-$\frac{8}{15}$，切線方程為8x+15y+49=0
綜上，過點（-5，-3）的圓⊙O的切線方程為x=-5或8x+15y+49=0；
（3）重心$T（\frac{5}{3}，0）$，假設(shè)過T作兩互相垂直的弦分別是PQ，GH，弦PQ中點為M，弦GH中點為N，
所以四邊形PGQH面積S=$\frac{1}{2}PQ×$GH=2PM×GN=$2\sqrt{25-O{M^2}}×\sqrt{25-O{N^2}}$，
又$O{M^2}+O{N^2}={（\frac{5}{3}）^2}$，所以四邊形PGQH面積的最大值為$\frac{425}{9}$．

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查面積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．