Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+（2a+1）x+1-3a，其中a≠0．
（1）若函數(shù)y=f（x）在（-∞，2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若關(guān)于x的方程f（lgx）=0的兩根之積x₁•x₂=10，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）=ax²+（2a+1）x+1-3a在（-∞，2]上單調(diào)遞增可知函數(shù)的圖象開(kāi)口向下且對(duì)稱軸大于2；
（2）由關(guān)于x的方程f（lgx）=0的兩根之積x₁•x₂=10可得ax²+（2a+1）x+1-3a=0的兩根之和為1，從而求出a的值并驗(yàn)證．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²+（2a+1）x+1-3a在（-∞，2]上單調(diào)遞增，
∴

a＜0 - 2a+1 2a ≥2

，
解得，-

1

6

≤a＜0；
（2）∵關(guān)于x的方程f（lgx）=0的兩根之積x₁•x₂=10，
∴l(xiāng)gx₁+lgx₂=lg10=1，
即ax²+（2a+1）x+1-3a=0的兩根之和為1，
則-

2a+1

a

=1，
解得，a=-

1

3

，
經(jīng)驗(yàn)證，成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性與二次函數(shù)的圖象，同時(shí)考查了根與系數(shù)的關(guān)系及復(fù)合函數(shù)，屬于中檔題．