Question

已知拋物線y²=8x，過動(dòng)點(diǎn)M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|≤8．
（1）求a的取值范圍；
（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求△NAB面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)直線l的方程為y=x-a，將y=x-a代入y²=8x，得x²-2（a+p）x+a²=0，設(shè)直線l與拋物線兩個(gè)不同的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），導(dǎo)出|AB|的表達(dá)式，再根據(jù)，|AB|≤8，求得a的范圍．
（2）設(shè)AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)Q，令坐標(biāo)為（x₃，y₃），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得x₃的坐標(biāo)，進(jìn)而求得QM的長度．根據(jù)△MNQ為等腰直角三角形，求得QN的長度，進(jìn)而表示出△NAB的面積，根據(jù)|AB|范圍確定三角形面積的最大值．

解答： 解：（1）由題意可得直線l的方程為y=x-a，將y=x-a代入y²=8x，得x²-2（a+4）x+a²=0，
設(shè)直線l與拋物線兩個(gè)不同的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有△=4（a+4）²-4a²＞0，且x₁+x₂=2（a+4），x₁•x₂=a²，
∵y₁=x₁-a，y₂=x₂-a，∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(x1+x2)2-4x1•x2

=

64(2+a)

≤8，
故有0＜64（2+a）≤64，求得-2＜a≤-1．
（2）設(shè)AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)Q，令坐標(biāo)為（x₃，y₃），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得x₃=

x1+x2

2

=a+4，y₃=

y1+y2

2

=4，
∴|QM|²=（a+4-a）²+（4-0）²=32，
又△MNQ為等腰直角三角形，
∴|QN|=|QM|=4

2

，故△NAB面積為

1

2

|AB|•|NQ|≤

1

2

×8×4

2

=16

2

，即△NAB面積的最大值為16

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意韋達(dá)定理、弦長公式、不等式等知識(shí)的靈活運(yùn)用，考查運(yùn)用解析幾何的方法解決數(shù)學(xué)問題的能力，屬于中檔題．