Question

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上的左、右頂點分別為A，B，F₁為左焦點，且|AF₁|=2，又橢圓C過點$（0，2\sqrt{3}）$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點P和Q分別在橢圓C和圓x²+y²=16上（點A，B除外），設直線PB，QB的斜率分別為k₁，k₂，若A，P，Q三點共線，求$\frac{k_1}{k_2}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得a-c=2，b=$2\sqrt{3}$，結合隱含條件求得a，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-4，0），B（4，0）．設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），可得${k}_{PA}•{k}_{1}=\frac{12-\frac{3}{4}{{x}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-16}=-\frac{3}{4}$，再由已知點Q（x₂，y₂）在圓x²+y²=16上，AB為圓的直徑，可得k_QA•k₂=-1，由A，P，Q三點共線，可得k_AP=k_QA，k_PA•k₂=-1．進一步求得$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}=-\frac{3}{4}$．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得a-c=2，b=$2\sqrt{3}$，
又b²=a²-c²=12，解得a=4．
故所求橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-4，0），B（4，0）．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴${k}_{PA}•{k}_{1}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+4}•\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-4}=\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{x}_{1}-16}$．
∵P（x₁，y₁）在橢圓C上，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{12}=1$，即${{y}_{1}}^{2}=12-\frac{3}{4}{{x}_{1}}^{2}$．
∴${k}_{PA}•{k}_{1}=\frac{12-\frac{3}{4}{{x}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-16}=-\frac{3}{4}$．…①
由已知點Q（x₂，y₂）在圓x²+y²=16上，AB為圓的直徑，
∴QA⊥QB．
∴k_QA•k₂=-1．
由A，P，Q三點共線，可得k_AP=k_QA，
∴k_PA•k₂=-1．…②
由①、②兩式得$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}=\frac{3}{4}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查了橢圓的簡單性質，考查直線與圓、橢圓位置關系的應用，體現了“設而不求”的解題思想方法，是中檔題．