Question

11．已知函數(shù)f（x）及其導數(shù)f'（x），若存在x₀使得f（x₀）=f'（x₀），則稱x₀是f（x）的一個“巧值點”．給出下列五個函數(shù)：①f（x）=x²，②f（x）=e^-x，③f（x）=lnx，④f（x）=tanx，其中有“巧值點”的函數(shù)的個數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)題意，依次分析四個函數(shù)，分別求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)條件f（x₀）=f′（x₀），確實是否有解即可．

解答 解：根據(jù)題意，依次分析所給的函數(shù)：
①、若f（x）=x²；則f′（x）=2x，由x²=2x，得x=0或x=2，這個方程顯然有解，故①符合要求；
②、若f（x）=e^-x；則f′（x）=-e^-x，即e^-x=-e^-x，此方程無解，②不符合要求；
③、f（x）=lnx，則f′（x）=$\frac{1}{x}$，若lnx=$\frac{1}{x}$，利用數(shù)形結合可知該方程存在實數(shù)解，③符合要求；
④、f（x）=tanx，則f′（x）=-$\frac{1}{co{s}^{2}x}$，即sinxcosx=-1，變形可sin2x=-2，無解，④不符合要求；
故選：B．

點評 本題考查導數(shù)的計算，關鍵是理解函數(shù)“巧值點”的定義．