Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）求所有的實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意時(shí)，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的下方；

（3）若存在，使得關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），（2），（3）；

【解析】

試題分析：（1）,

由在上是增函數(shù)，則，即，所以的取值范圍為．

（2）由題意得對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒成立，即，當(dāng)恒成立，

即，得，

故只要且在上恒成立即可，

在時(shí)，只要的最大值小于且的最小值大于即可，

而當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，；

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，，所以．

（3）當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，則關(guān)于的方程不可能有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；

則當(dāng)時(shí)， 由 ，

得在時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸，則在為增函數(shù)，

此時(shí)的值域?yàn)?/span>，

在時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸，則在為增函數(shù)，

此時(shí)的值域?yàn)?/span>，在為減函數(shù)，此時(shí)的值域?yàn)?/span>；

由存在，方程有三個(gè)不相等的實(shí)根，則，

即存在，使得即可，令，

只要使即可，而在上是增函數(shù)，，

故實(shí)數(shù)的取值范圍為；

同理可求當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．