Question

14．已知x∈R，向量$\overrightarrow{OA}$=（acos²x，1），$\overrightarrow{OB}$=（2，$\sqrt{3}$asin 2x-a），f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，a≠0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并求當a＞0時，f（x）的單調增區(qū)間；
（2）（文科做）當a=1，x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求函數(shù)f（x）的值域．
（理科做）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）的最大值為5，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，化簡函數(shù)f（x）的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調性求得f（x）的單調增區(qū)間．
（2）（文科做）當a=1，根據(jù)x∈[0，$\frac{π}{2}$]，利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的值域．
（理科做）根據(jù)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，利用余弦函數(shù)的定義域和值域，分類討論，根據(jù)f（x）的最大值為5，求得a的值．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2acos²x+$\sqrt{3}$asin 2x-a=a（cos2x+$\sqrt{3}$sin2x）=2acos（2x-$\frac{π}{3}$），a＞0，
令2kπ-π≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）（文科做）當a=1，x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，
則2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，2acos（2x-$\frac{π}{3}$）=2cos（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\sqrt{3}$，2]，
即函數(shù)f（x）的值域為[-$\sqrt{3}$，2]．
（理科做）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，則2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，cos（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
當a＞0時，f（x）=2acos（2x-$\frac{π}{3}$）的最大值為2a=5，∴a=$\frac{5}{2}$．
當a＜0時，f（x）=2acos（2x-$\frac{π}{3}$）的最大值為-$\sqrt{3}$a=5，∴a=-$\frac{5}{\sqrt{3}}$=-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，余弦函數(shù)的單調性，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．