Question

4．以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2ρ²cos²θ-3ρ²sin²θ=30，圓O的圓心在原點，經(jīng)過曲線C的右焦點F．
（1）求曲線C和圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4+tcosφ\\ y=-3+tsinφ\end{array}$（t為參數(shù)）與圓O交于B，C兩點，其中B在第四象限，C在第一象限，若|BC|=5，∠FOC=α，求sin（$\frac{π}{3}$-α）的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標(biāo)方程為2ρ²cos²θ-3ρ²sin²θ=30，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入即可化為標(biāo)準(zhǔn)方程．可得c=5．得到圓O的半徑為5，即可得出標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=4+tcosφ\\ y=-3+tsinφ\end{array}$（t為參數(shù)），可知：直線l經(jīng)過點B（4，-3），點B在圓O上，而|BC|=5，可得△OBC是等邊三角形．得出sin∠xOB即可得出sin（$\frac{π}{3}$-α）．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為2ρ²cos²θ-3ρ²sin²θ=30，
把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入即可化為2x²-3y²=30，∴標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{15}-\frac{{y}^{2}}{10}=1$．
∴c=$\sqrt{15+10}$=5．
可得曲線C的右焦點F（5，0）．
∴圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²+y²=25．
（2）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=4+tcosφ\\ y=-3+tsinφ\end{array}$（t為參數(shù)），
可知：直線l經(jīng)過點B（4，-3），
點B在圓O上，而|BC|=5，∴△OBC是等邊三角形．
∵sin∠xOB=$\frac{3}{5}$
∴sin（$\frac{π}{3}$-α）=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相交弦長、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．