Question

7．如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)M，E是CD延長線上一點(diǎn)，AB=10，CD=8，3ED=4OM，EF切圓O于F，BF交CD于G．
（1）求證：△EFG為等腰三角形；
（2）求線段MG的長．

Answer 1

分析 （1）連接AF，OF，則A，F(xiàn)，G，M共圓，∠FGE=∠BAF，證明∠EFG=∠FGE，即可證明：△EFG為等腰三角形；
（2）求出EF=EG=4$\sqrt{3}$，連接AD，則∠BAD=∠BFD，即可求線段MG的長．

解答 （1）證明：連接AF，OF，則A，F(xiàn)，G，M共圓，∴∠FGE=∠BAF
∵EF⊥OF，
∴∠EFG=∠BAF，
∴∠EFG=∠FGE
∴EF=EG，
∴△EFG為等腰三角形；
（2）解：由AB=10，CD=8可得OM=3，
∴ED=$\frac{4}{3}$OM=4EF²=ED•EC=48，
∴EF=EG=4$\sqrt{3}$，
連接AD，則∠BAD=∠BFD，
∴MG=EM-EG=8-4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．