Question

15．若函數(shù)f（x）=e^x-ax²有三個不同零點，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{e^2}{4}$，+∞）
• B． （$\frac{{{e^{\;}}}}{2}$，+∞）
• C． （1，$\frac{e^2}{4}$）
• D． （1，$\frac{{{e^{\;}}}}{2}$）

Answer 1

分析 可判斷a＞0，作函數(shù)y=e^x與y=ax²的圖象，從而轉(zhuǎn)化問題為當(dāng)x＞0時，兩圖象有兩個交點，再假設(shè)兩圖象至多有-個交點，則e^x≥ax²恒成立，從而可得a≤$\frac{{e}^{2}}{4}$，從而解得．

解答 解：當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）=e^x-ax²＞0恒成立，故a＞0；
作函數(shù)y=e^x與y=ax²的圖象如圖，
由圖象可知，當(dāng)x＜0時，兩圖象必有一個交點，
故當(dāng)x＞0時，兩圖象有兩個交點，
假設(shè)兩圖象至多有-個交點，則e^x≥ax²恒成立，
即a≤$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
記F（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，F(xiàn)′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{{x}^{3}}$，
故F（x）_min=F（2）=$\frac{{e}^{2}}{4}$；
故a≤$\frac{{e}^{2}}{4}$時，兩圖象至多有-個交點；
故若函數(shù)f（x）=e^x-ax²有三個不同零點，則a＞$\frac{{e}^{2}}{4}$．
故選：A．

點評 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．