Question

16．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax（a∈R）．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，恒有f（x）≥0，請(qǐng)比較e^a與a^e的大小．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，主要對(duì)a進(jìn)行討論；
（2）確定a≤e，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷即可．

解答 解：（1）由f′（x）=e^x-a，
①當(dāng)a≤0時(shí)，顯然f′（x）=e^x-a≥0；
②當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0得x=lna，顯然當(dāng)x＞lna時(shí)，f′（x）＞0；
∴當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（lna，+∞）上遞增，在（-∞，lna）上遞減；
（2）∵對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，恒有f（x）≥0，
∴e^x-ax≥0，
x=0，a∈R；
x＞0，a≤$\frac{{e}^{x}}{x}$，令m（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，則m′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，m（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴m（x）_min=m（1）=e，∴a≤e；
x＜0，a≥$\frac{{e}^{x}}{x}$，令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，則g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，無(wú)最大值，不成立．
∴a≤e．
構(gòu)造函數(shù)h（x）=x-elnx，則h′（x）=1-$\frac{e}{x}$，
由h′（x）=0，解得x=e，
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，h′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
∴h（a）≥h（e）=0，
即h（a）=a-elna≥0，
即a≥elna，即e^a≥a^e．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．利用構(gòu)造法是解決本題的難點(diǎn)．