Question

四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC=2，E、F分別是AB、PB的中點．
（1）求證：PA⊥CD；
（2）求三棱錐B-DEF的體積；
（3）二面角E-DF-B的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得PD⊥CD，CD⊥AD，從而CD⊥平面PAD，由此能證明PA⊥CD．
（2）F到平面BDE的距離h=

1

2

PD=1，S△BDE=

1

2

×AB×AD=2，由此能求出三棱錐B-DEF的體積．
（3）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面DEF的法向量和平面BDF的法向量，利用向量法能求出二面角E-DF-B的余弦值．

解答： （1）證明：∵PD⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PD⊥CD，
∵底面ABCD為正方形，∴CD⊥AD，
∵PD∩AD=D，∴CD⊥平面PAD，
又PA?平面PAD，∴PA⊥CD．
（2）解：∵E、F分別是AB、PB的中點，
∴F到平面BDE的距離h=

1

2

PD=1，
S△BDE=

1

2

×AB×AD=

1

2

×2×2=2，
∴三棱錐B-DEF的體積V_B-DEF=V_F-BDE=

1

3

×h×S△BDE=

2

3

．
（3）解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
E（2，1，0），D（0，0，0），P（0，0，2），
B（2，2，0），F(xiàn)（1，1，1），

DE

=（2，1，0），

DF

=（1，1，1），

DB

=（2，2，0），
設(shè)平面DEF的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • DE =2x+y=0 n • DF =x+y+z=0

，取x=1，得

n

=（1，-2，1），
設(shè)平面BDF的法向量

m

=（a，b，c），
則

m • DB =2a+2b=0 m • DF =a+b+c=0

，取a=1，得

m

=（1，-1，0），
設(shè)二面角E-DF-B的平面角為θ，
則cosθ=

| n • m |

| n |•| m |

=

3

6 × 2

=

3

2

，
∴二面角E-DF-B的余弦值為

3

2

．

點評：本題主要考查直線與平面之間的平行、垂直等位置關(guān)系，幾何體的體積、二面角的概念、求法等知識，以及空間想象能力和邏輯推理能力．