Question

【題目】以下命題中：

①若向量、、是空間的一組基底，則向量、、也是空間的一組基底；

②已知、、三點(diǎn)不共線，點(diǎn)為平面外任意一點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)平面；

③曲線與曲線（且）有相同的焦點(diǎn).

④過定圓上一定點(diǎn)作圓的動弦，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則動點(diǎn)的軌跡為橢圓；

⑤若過點(diǎn)的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，則直線的方程是.

其中真命題的序號是______.（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

【答案】②③

【解析】

對于①，向量、、共面，即向量、、不是空間的一組基底；即①錯誤；

對于②，由向量的線性運(yùn)算可得，即點(diǎn)平面，即②正確；對于③，當(dāng)時與當(dāng)時，曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即③正確；對于④，動點(diǎn)的軌跡方程為，即④錯誤；對于⑤，由點(diǎn)差法可得直線的方程是，即⑤錯誤，得解.

解：對于①，向量，即向量、、共面，即向量、、不是空間的一組基底；即①錯誤；

對于②，由，則,即，即，即點(diǎn)平面，即②正確；

對于③， 曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時，曲線可化為的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時，曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即曲線與曲線（且）有相同的焦點(diǎn)，即③正確；

對于④，由，則點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，設(shè)，則，又在圓周上，則，即，除去，則動點(diǎn)的軌跡為圓且除去，即④錯誤；

對于⑤，若過點(diǎn)的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，設(shè)，則且，兩式相減可得，即直線的方程是，則直線的方程是，即⑤錯誤，

即真命題的序號是②③，

故答案為：②③.