Question

1．已知2件次品和a件正品放在一起，現需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出a件正品時檢測結束，已知前兩次檢測都沒有檢測出次品的概率為$\frac{3}{10}$．
（1）求實數a的值；
（2）若每檢測一件產品需要費用100元，設x表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用（單位：元），求x的分布列和均值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用相互獨立事件概率乘法公式列出方程，由此能求出實數a的值．
（2）設檢測的次數為ξ，則ξ的取值為2，3，4，分別求出相應的概率，再由X=10ξ，得到X的分布列，從而能求出X的均值．

解答 解：（1）∵2件次品和a件正品放在一起，現需要通過檢測將其區(qū)分，
每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出a件正品時檢測結束，
前兩次檢測都沒有檢測出次品的概率為$\frac{3}{10}$，
∴$\frac{a}{2+a}×\frac{a-1}{1+a}$=$\frac{3}{10}$，
整理，得7a²-19a-6=0，
解得a=-$\frac{2}{7}$（舍）或a=3．
∴實數a的值為3．
（2）設檢測的次數為ξ，則ξ的取值為2，3，4，
ξ=2對應事件“前2個排的均是次品”，
P（ξ=2）=$\frac{{A}_{2}^{2}}{{A}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，
ξ=4對應事件“前3次檢測的是2個正品和1個次品”，
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}{A}_{3}^{3}}{{A}_{5}^{3}}$=$\frac{6}{10}$，
P（ξ=3）=1-P（ξ=2）-P（ξ=4）=$\frac{3}{10}$，
又由X=10ξ，得到X的分布列為：

X	200	300	400
ξ	2	3	4
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{6}{10}$

EX=100Eξ=10（2×$\frac{1}{10}$+3×$\frac{3}{10}$+4×$\frac{6}{10}$）=350．

點評 本題考查實數值的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．