Question

6．已知F₁（-c，0）為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)，直線y=kx與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若|$\overrightarrow{A{F}_{1}}$|=$\frac{c}{a}$|$\overrightarrow{B{F}_{1}}$|，則雙曲線的離心率的取值范圍是（1，1+$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 連接AF₂，BF₂，可得四邊形AF₁BF₂為平行四邊形，即有|BF₁|=|AF₂|，由雙曲線的定義可得|AF₁|-|AF₂|=2a，結(jié)合已知條件和|AF₂|≥c-a，運(yùn)用離心率公式，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：連接AF₂，BF₂，可得四邊形AF₁BF₂為平行四邊形，
即有|BF₁|=|AF₂|，
由雙曲線的定義可得|AF₁|-|AF₂|=2a，
|$\overrightarrow{A{F}_{1}}$|=$\frac{c}{a}$|$\overrightarrow{B{F}_{1}}$|，即為|AF₁|=$\frac{c}{a}$|AF₂|，
可得2a=（$\frac{c}{a}$-1）|AF₂|，
由雙曲線的性質(zhì)可得|AF₂|≥c-a，
即有2a≥（$\frac{c}{a}$-1）（c-a），
由e=$\frac{c}{a}$可得e²-2e-1≤0，
解得1-$\sqrt{2}$≤e≤1+$\sqrt{2}$，
但e＞1，即有1＜e≤1+$\sqrt{2}$，
則離心率的取值范圍是（1，1+$\sqrt{2}$]．
故答案為：（1，1+$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運(yùn)用雙曲線的定義和性質(zhì)，同時(shí)考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．