Question

2．如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，分別取AB、AC的中點D、E，連接DE，直線DE交圓O在B點處的切線于G，交圓于H、F兩點，若GD=4，DE=2，DF=4．
（Ⅰ） 求證：$\frac{GB}{EC}$=$\frac{GD}{BD}$；
（Ⅱ）求HD的長．

Answer 1

分析 （I）由GB為圓O的切線，可得∠GBA=∠ACB．由DE為△ABC的中位線，可得∠AED=∠ACB，可得△GBD∽△AED，即可證明．
（II）由（I）可知：△GBD∽△AED，可得$\frac{DE}{BD}=\frac{AD}{GD}=\frac{BD}{GD}$，由相交弦定理可得；BD•AD=DF•HD，即可得出．

解答 （I）證明：∵GB為圓O的切線，∴∠GBA=∠ACB，
∵DE為△ABC的中位線，∴∠AED=∠ACB，
∴∠GBA=∠AED，
∴△GBD∽△AED，
∴$\frac{GB}{AE}$=$\frac{GD}{AD}$，又AE=EC，AD=BD，
∴$\frac{GB}{EC}$=$\frac{GD}{BD}$．
（II）解：由（I）可知：△GBD∽△AED，
∴$\frac{DE}{BD}=\frac{AD}{GD}=\frac{BD}{GD}$，可得BD²=DE•GD=8，
由相交弦定理可得；BD•AD=DF•HD，
∴HD=$\frac{B{D}^{2}}{DF}$=2．

點評 本題考查了圓的切線的性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的性質(zhì)、相交弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．