Question

12．斜率為k的直線l過拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)F，且交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)P（-1，k），且△PAB的面積為6$\sqrt{3}$，則k的值為（　�。�

• A． ±$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． ±$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由拋物線C：y²=4x，可得焦點(diǎn)F（1，0）．設(shè)直線l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與拋物線方程聯(lián)立化為：k²x²-（4+2k²）x+k²=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．點(diǎn)P到直線l的距離d=$\frac{3|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．利用$\frac{1}{2}d$|AB|=$6\sqrt{3}$．即可得出．

解答 解：由拋物線C：y²=4x，可得焦點(diǎn)F（1，0）．
設(shè)直線l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為：k²x²-（4+2k²）x+k²=0，
可得：x₁+x₂=$\frac{4+2{k}^{2}}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$．
點(diǎn)P到直線l的距離d=$\frac{|-k-k-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{3|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴$\frac{1}{2}d$|AB|=$\frac{1}{2}$×$\frac{3|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$×$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$=$6\sqrt{3}$．
化為：k²=$\frac{1}{2}$，
解得k=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．