Question

16．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足bcosA+acosB=2ccosC，c=$\sqrt{3}$；
（1）若A=$\frac{π}{4}$，求邊b的長；
（2）求△ABC面積的最大值．
（3）求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡已知等式可得sinC=2sinCcosC，結(jié)合范圍C∈（0，π），可求C，B的值，利用正弦定理即可求得B的值；
（2）利用余弦定理及基本不等式的應(yīng)用可得3=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號），利用三角形面積公式即可得解；
（3）求出a+b=2sin（A+$\frac{π}{6}$），根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合A的范圍，求出a+b的范圍，從而求出三角形周長的范圍即可．

解答 解：（1）由題意可得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosC，
∴sin（A+B）=2sinCcosC，即sinC=2sinCcosC，
又sinC≠0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
又C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{3}$，
∴B=π-A-C=$\frac{5π}{12}$，
又c=$\sqrt{3}$，在△ABC中，∵$\frac{c}{sinC}$=$\frac{sinB}$，
∴b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}sin\frac{5π}{12}}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$；
（2）在△ABC中，∵c²=a²+b²-2abcosC，且c=$\sqrt{3}$，C=$\frac{π}{3}$，
∴3=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號），
即當(dāng)△ABC為正三角形時，△ABC面積的最大值為：$\frac{3\sqrt{3}}{4}$；
（3）∵c=$\sqrt{3}$，C=$\frac{π}{3}$，∴A+B=$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
∴a=2sinA，b=2sinB，
a+b=2sinA+2sinB=2sinA+2sin（$\frac{2π}{3}$-A）=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴$\sqrt{3}$＜a+b≤2$\sqrt{3}$，
∴2$\sqrt{3}$＜a+b+c≤3$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，基本不等式的綜合應(yīng)用，屬于基本知識的考查．