如圖,直角梯形中,,點(diǎn)分別是的中點(diǎn),點(diǎn)在上,沿將梯形翻折,使平面平面.
(1)當(dāng)最小時,求證:;
(2)當(dāng)時,求二面角平面角的余弦值.
(1)參考解析;(2)
解析試題分析:(1)因?yàn)楫?dāng)最小時,及連結(jié)AC與EF的交點(diǎn)即為G點(diǎn),通過三角形的相似可得到EG的長度.需要證明直線與直線垂直,根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系,即可得到相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo),從而寫出相關(guān)向量,即可判斷直線的垂直關(guān)系.
(2)由題意所給的體積關(guān)系可確定點(diǎn)G的位置,求二面角關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角,由于平面BCG的法向量易得,關(guān)鍵是求出平面DGB的法向量.通過待定系數(shù)法即可求得,還需判斷二面角與法向量夾角的大小關(guān)系.解法二用到的推理論證的數(shù)學(xué)思想很重要.
試題解析:(1)證明:∵點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn),∴EF//BC
又∠ABC=90°∴AE⊥EF,∵平面AEFD⊥平面EBCF,
∴AE⊥平面EBCF,AE⊥EF,AE⊥BE, 又BE⊥EF,
如圖建立空間坐標(biāo)系E﹣xyz.
翻折前,連結(jié)AC交EF于點(diǎn)G,此時點(diǎn)G使得AG+GC最小.
EG=BC=2,又∵EA=EB=2.
則A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0), D(0,2,2),E(0,0,0),G(0,2,0),
∴=(﹣2,2,2),=(-2,-2,0)
∴=(﹣2,2,2)(-2,-2,0)=0,
∴⊥
(2)解法一:設(shè)EG=k,
∥平面,點(diǎn)D到平面EFCB的距離為即為點(diǎn)A到平面EFCB的距離.
[(3- k)+4]×2=7-k
=
又=,
,=,
即EG=1
設(shè)平面DBG的法向量為,∵G(0,1,0),
∴(-2,2,2),
則 ,即
取x=1,則y=2,z=-1,∴
面BCG的一個法向量為
則cos<>= 由于所求二面角D-BF-C的平面角為銳角,
所以此二面角平面角的余弦值為
(2)解法二:由解法一得EG=1,過點(diǎn)D作DHEF,垂足H,過點(diǎn)H作BG延長線的垂線垂足O,連接OD.
∵平面AEFD⊥平面EBCF, DH平面EBCF,ODOB,所以就是所求的二面角的平面角.由于HG=1,在OHG中,
又DH=2,在DOH中
所以此二面角平面角的余弦值為
考點(diǎn):1.圖形的翻折問題.2.線面垂直的判定.3.二面角的求法.4.空間坐標(biāo)系中的運(yùn)算.5.空間想象能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在長方體ABCD—A1B1C1D1中,,點(diǎn)E是棱AB上一點(diǎn).且.
(1)證明:;
(2)若二面角D1—EC—D的大小為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn),DE⊥平面BCC1
(1)證明:AB=AC
(2)設(shè)二面角A-BD-C為60°,求B1C與平面BCD所成的角的大小
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,點(diǎn)M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30°的角.
求證:(1)CM∥平面PAD.
(2)平面PAB⊥平面PAD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐O—ABCD中,底面ABCD是邊長為1的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M為OA中點(diǎn)。
(1)求證:直線BD⊥平面OAC;
(2)求直線MD與平面OAC所成角的大;
(3)求點(diǎn)A到平面OBD的距離。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D為AB的中點(diǎn),AC=BC=BB1.
求證:(1)BC1⊥AB1.
(2)BC1∥平面CA1D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖1,A,D分別是矩形A1BCD1上的點(diǎn),AB=2AA1=2AD=2,DC=2DD1,把四邊形A1ADD1沿AD折疊,使其與平面ABCD垂直,如圖2所示,連接A1B,D1C得幾何體ABA1DCD1.
(1)當(dāng)點(diǎn)E在棱AB上移動時,證明:D1E⊥A1D;
(2)在棱AB上是否存在點(diǎn)E,使二面角D1ECD的平面角為?若存在,求出AE的長;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,A1A=,M是CC1的中點(diǎn).
(1)求證:A1B⊥AM;
(2)求二面角BAMC的平面角的大。.
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