Question

6．某校在一次數(shù)學(xué)考試中隨機(jī)抽取了N名學(xué)生的成績(jī)并分成一下五組，第1組[75，80），第2組[80，85），第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100]，得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右后3個(gè)小組的頻率之比為3：2：1，其中第4組的頻數(shù)為20．
（1）從樣本中屬于第1組和第5組的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，設(shè)他們的成績(jī)分別為x，y，求事件“抽取的2人都在第1組或都在第5組”的概率；
（2）學(xué)校從成績(jī)?cè)赱75，85）的第1，2組學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取24名學(xué)生進(jìn)行復(fù)試，若第1組被抽中的學(xué)生實(shí)力相當(dāng)，且能通過(guò)復(fù)試的概率均為$\frac{1}{5}$，設(shè)第一組的學(xué)生能通過(guò)復(fù)試的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由頻從左到右后3個(gè)小組的頻率之比為3：2：1，能求出第3，4，5組的頻率，利用第4組的頻數(shù)為20，求出第1組和第5組的頻數(shù)分別為5，10，即可求事件“抽取的2人都在第1組或都在第5組”的概率；
（2）學(xué)校從成績(jī)?cè)赱75，85）的第1，2組學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取24名學(xué)生進(jìn)行復(fù)試，則第1，2組各抽取3，21名．由已知得X～B（3，$\frac{1}{5}$），且P（X=k）=${C}_{3}^{k}•（\frac{1}{5}）^{k}•（\frac{4}{5}）^{3-k}$，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）從左到右后3個(gè)小組的頻率之和為1-（0.07+0.01）×5=0.6，
∵從左到右后3個(gè)小組的頻率之比為3：2：1，
∴第4組的頻率為0.2，
∵第4組的頻數(shù)為20，
∴N=100．
∴第1組和第5組的頻數(shù)分別為5，10，
∴事件“抽取的2人都在第1組或都在第5組”的概率為$\frac{{C}_{5}^{2}{+C}_{10}^{2}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{11}{21}$；
（2）學(xué)校從成績(jī)?cè)赱75，85）的第1，2組學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取24名學(xué)生進(jìn)行復(fù)試，則第1，2組各抽取3，21名．
由已知得X～B（3，$\frac{1}{5}$），且P（X=k）=${C}_{3}^{k}•（\frac{1}{5}）^{k}•（\frac{4}{5}）^{3-k}$，k=0，1，2，3，
∴X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P	$\frac{64}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{1}{125}$

X的數(shù)學(xué)期望EX=np=3×$\frac{1}{5}$=$\frac{3}{5}$，

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率知識(shí)，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，確定變量的取值，正確求概率是關(guān)鍵．