Question

15．已知a、b、c＞0，證明：（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$）（a+b+c）²≥27．

Answer 1

分析 根據(jù)幾個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)，進(jìn)行證明即可．

解答 證明：∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$≥3$\root{3}{\frac{1}{{a}^{2}}•\frac{1}{^{2}}•\frac{1}{{c}^{2}}}$=3$\root{3}{\frac{1}{{（abc）}^{2}}}$，
a+b+c≥3$\root{3}{abc}$；
∴（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$）（a+b+c）²≥3$\root{3}{\frac{1}{{（abc）}^{2}}}$•${（3\root{3}{abc}）}^{2}$
=27•$\root{3}{\frac{1}{{（abc）}^{2}}}$•$\root{3}{{（abc）}^{2}}$
=27，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，“=”成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用幾個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)證明不等式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．