Question

15．已知向量$\overrightarrow a=（{sinx，\frac{3}{2}}）$，$\overrightarrow b=（{cosx，-1}）$．
（1）求|${\overrightarrow a+\overrightarrow b}$|的最大值；
（2）當$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$共線時，求2cos²x-sin2x的值．

Answer 1

分析 （1）先求出$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$的坐標，從而得到|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{sin2x+\frac{5}{4}}$，顯然sin2x=1時，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|取到最大值$\frac{3}{2}$；
（2）根據(jù)向量共線時向量坐標的關系即可得到sinx=$-\frac{3}{2}cosx$，而根據(jù)sin²x+cos²x=1便能求出cos²x，這時候可求得2cos²x-sin2x=5cos²x，從而得出答案．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=（sinx+cosx，\frac{1}{2}）$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{（sinx+cosx）^{2}+\frac{1}{4}}$=$\sqrt{sin2x+\frac{5}{4}}$；
∴sin2x=1時，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$取最大值$\frac{3}{2}$；
（2）$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$共線；
∴$-sinx-\frac{3}{2}cosx=0$；
∴$sinx=-\frac{3}{2}cosx$；
∵sin²x+cos²x=1；
∴$\frac{13}{4}co{s}^{2}x=1$；
∴$co{s}^{2}x=\frac{4}{13}$；
∴2cos²x-sin2x=2cos²x-2sinxcosx=$2co{s}^{2}x+3co{s}^{2}x=5co{s}^{2}x=\frac{20}{13}$．

點評 考查向量加法的坐標運算，根據(jù)向量坐標求向量長度的公式，以及共線向量的坐標的關系，二倍角的正弦公式．