Question

9．在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=5，d=-1．
（1）求前n項和S_n的最大值及n的值；
（2）求T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|．

Answer 1

分析 （1）由已知寫出等差數(shù)列的通項，由通項大于等于0求得n的范圍，可知等差數(shù)列的前5項大于0，第6項等于0，求出S₅即為S_n的最大值；
（2）對n分類去絕對值求得|a₁|+|a₂|+…+|a_n|的前n項和T_n．

解答 解：（1）在等差數(shù)列{a_n}中，由a₁=5，d=-1，得a_n=5-1×（n-1）=6-n，
由a_n=6-n≥0，解得：n≤6，
∴當n=5或n=6時，前n項和S_n的值最大，等于$5×5+\frac{5×4×（-1）}{2}=15$；
（2）當n≤6時，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=5n+$\frac{n（n-1）×（-1）}{2}$=$-\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{11n}{2}$；
當n＞6時，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a₆-a₇-a₈-…-a_n
=2（a₁+a₂+…+a₆）-（a₁+a₂+…+a_n）=$2×15-（-\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{11n}{2}）$=$\frac{{n}^{2}}{2}-\frac{11n}{2}+30$．
∴${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{11n}{2}，n≤6}\\{\frac{{n}^{2}}{2}-\frac{11n}{2}+30，n＞6}\end{array}\right.$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查了等差數(shù)列的前n項和，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬中檔題．