Question

6．已知直線AB的傾斜角為45°，橢圓$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1上存在關(guān)于直線AB對(duì)稱的兩點(diǎn)．則直線AB在y軸上的截距的取值范圍是（-1，1）．

Answer 1

分析 通過(guò)設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），設(shè)直線MN的方程為y=-x+b并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及根的判別式大于零、MN的中點(diǎn)T（x₀，y₀）在直線y=x+m上計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1上存在關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱的兩點(diǎn)為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
根據(jù)對(duì)稱性可知線段MN被直線y=x+m垂直平分，且MN的中點(diǎn)T（x₀，y₀）在直線y=x+m上，且k_MN=-1，
故可設(shè)直線MN的方程為y=-x+b，
聯(lián)立直線MN與橢圓方程，整理可得：3x²-4bx+2b²-6=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4b}{3}$，y₁+y₂=2b-（x₁+x₂）=2b-$\frac{4b}{3}$=$\frac{2b}{3}$，
由△=16b²-24（b²-3）＞0，可得-3＜b＜3，
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{2b}{3}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{3}$，
∵M(jìn)N的中點(diǎn)T（x₀，y₀）在直線y=x+m上，
∴$\frac{2b}{3}$+m=$\frac{3}$，m=-$\frac{3}$，
∴-1＜m＜1，
故答案為：（-1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用已知中的對(duì)稱性設(shè)出直線方程，且由中點(diǎn)在直線上建立m、b之間的關(guān)系，還要注意方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，注意解題方法的積累，屬于中檔題．