Question

1．已知橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，過點（0，2）作圓x²+y²=1的切線l交橢圓G于A，B兩點，
（1）求橢圓G的焦點坐標和離心率．
（2）O為坐標原點，求△OAB的面積．

Answer 1

分析 （1）求得橢圓的a，b，c，可得橢圓的焦點和離心率的大�。�
（2）由直線和圓相切的條件：d=r，求得直線的斜率，再由直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，再由三角形的面積公式計算即可得到所求．

解答 解：（1）橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的a=2，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{3}$，
則焦點坐標為（-$\sqrt{3}$，0），（$\sqrt{3}$，0），離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）設切線的方程為y=kx+2，
由直線和圓相切的條件可得d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得k=±$\sqrt{3}$，
取直線y=$\sqrt{3}$x+2，代入橢圓方程，可得
13x²+16$\sqrt{3}$x+12=0，即有x₁+x₂=-$\frac{16\sqrt{3}}{13}$，x₁x₂=$\frac{12}{13}$，
即有|AB|=$\sqrt{1+3}$|x₁-x₂|=2$\sqrt{\frac{16×48}{1{3}^{2}}-\frac{48}{13}}$=$\frac{24}{13}$，
則△OAB的面積為$\frac{1}{2}$×1×$\frac{24}{13}$=$\frac{12}{13}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，考查直線和圓相切的條件，直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式的運用，屬于中檔題．