Question

6．在直角坐標(biāo)系中，直線l過(guò)點(diǎn)P（2，1），傾斜角為45°，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{12}{4sin^2θ+3cos^2θ}$．
（1）求直線l的參數(shù)方程和曲線C的普通方程．
（2）設(shè)直線l與曲線C交于A、B于兩點(diǎn)，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由直線l過(guò)點(diǎn)P（2，1），傾斜角為45°，可得直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），利用即可把曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{12}{4sin^2θ+3cos^2θ}$，化為直角坐標(biāo)方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入橢圓的方程可得：$7{t}^{2}+16\sqrt{2}t+8$=0，利用|PA|•|PB|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（1）由直線l過(guò)點(diǎn)P（2，1），傾斜角為45°，可得直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{12}{4sin^2θ+3cos^2θ}$，化為4y²+3x²=12，即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入橢圓的方程可得：$7{t}^{2}+16\sqrt{2}t+8$=0，
∴t₁t₂=$\frac{8}{7}$．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{8}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．