Question

在△ABC中，a，b，c分別表示角A，B，C對邊的長，滿足（2b-c）cosA=acosC
（1）求角A的大小；
（2）已知BC=6，點D在BC邊上，
①若AD為△ABC的中線，且b=2

3

，求AD長；
②若AD為△ABC的高，且AD=3

3

，求證：△ABC為等邊三角形．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：計算題,解三角形

分析：（1）由正弦定理化簡可得2sinBcosA=sinB，求得cosA=

1

2

，進而可求得A=60°．
（2）①由正弦定理及已知可求得sinB=

1

2

，進而可求B的值，再求得DC的值，從而由勾股定理求得AD的值．
②由

1

2

AD×BC=

1

2

AB×ACsinA可求得AB×AC=36，由余弦定理可求得AB²+AC²=72，從而求得：AB+AC=12，即有：AB=AC=12．

解答： （本小題滿分16分）
解：（1）由正弦定理得（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC． …（2分）
所以2sinBcosA=sinB，所以cosA=

1

2

，…（4分）
因為0°＜A＜180°，所以A=60°．                     …（5分）
（不給A的范圍扣1分）
（2）①由正弦定理得

BC

sinA

=

AC

sinB

，
又因為BC=6，b=2

3

，A=60°，所以sinB=

1

2

．    …（7分）
因為0°＜B＜180°，所以B=30°或B=150°．
…（8分）
因為A+B＜180°，所以B=30°．                   …（10分）
因為D是BC的中點，所以DC=3．                
由勾股定理知AD=

21

．                        …（11分）
②因為

1

2

AD×BC=

1

2

AB×ACsinA，
又因為AD=3

3

，BC=6，sinA=

3

2

，所以AB×AC=36…（13分）
因為BC²=AB²+AC²-2ABACcosA，所以AB²+AC²=72，
…（15分）
所以AB+AC=12，所以AB=AC=12．
所以△ABC為等邊三角形．
…（16分）
本題第3問若用兩角和與差的正切公式也給分

點評：本題主要考察了正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．