Question

已知函數(shù)f（x）≥|x-2a|+|x-a|，a∈R，a≠0．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，解不等式：f（x）＞2；
（Ⅱ若b∈R且b≠0，證明：f（b）≥f（a），并說明等號成立時滿足的條件．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,不等式的證明

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）將a=1代入，不等式化為具體的絕對值不等式，然后分類討論后再分別求解，最后把結(jié)果并在一起；
（Ⅱ）由題意得：f（a）=|a|，由絕對值不等式的性質(zhì)得：f（b）=|b-2a|+|b-a|=|2a-b|+|b-a|≥|2a-b+b-a|=|a|，得證并注明等號成立的條件．

解答： 解：（Ⅰ）因為a=1，所以原不等式為|x-2|+|x-1|＞2，
當(dāng)x≤1時，原不等式化簡為1-2x＞0，即x＜

1

2

；
當(dāng)1＜x≤2時，原不等式化簡為1＞2，即x∈∅；
當(dāng)x＞2時，原不等式化簡為2x-3＞2，即x＞

5

2

．
綜上，原不等式的解集為{x|x＜

1

2

或x＞

5

2

}．…5分
證明：（Ⅱ）由題知f（a）=|a|，
f（b）=|b-2a|+|b-a|=|2a-b|+|b-a|≥|2a-b+b-a|=|a|，
所以f（b）≥f（a），8分
又等號成立當(dāng)且僅當(dāng)2a-b與b-a同號或它們至少有一個為零．…10分

點評：本題考查了絕對值不等式的解法；考查了討論的數(shù)學(xué)思想．