Question

16．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-（{a-1}）{x^2}+{b^2}x$，其中a，b為實數(shù)
 （1）求f（x）為奇函數(shù)的充要條件；
 （2）若令b=1，任取a∈[0，4]，求f（x）在R上是增函數(shù)的概率．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)為奇函數(shù)得到f（-x）+f（x）=0恒成立即2（a-1）x²=0恒成立，由此求得f（x）為奇函數(shù)的充要條件是a=1；
（2）把b=1代入原函數(shù)，求導(dǎo)后利用導(dǎo)函數(shù)在R上恒大于等于0求得a的取值范圍，再由幾何概型概率計算公式求得f（x）在R上是增函數(shù)的概率．

解答 解：（1）f（x）為奇函數(shù)?f（-x）+f（x）=0恒成立?2（a-1）x²=0恒成立?a=1，
∴f（x）為奇函數(shù)的充要條件是a=1．
（2）b=1時，$f（x）=\frac{1}{3}{x}^{3}-（a-1）{x}^{2}+x$，
f′（x）=x²-2（a-1）x+1，
f（x）在R上為奇函數(shù)?f′（x）≥0在R上恒成立，
即x²-2（a-1）x+1≥0在R上恒成立，
則△=[-2（a-1）]²-4≤0，解得：0≤a≤2．
記事件A：“f（x）在R上是增函數(shù)”，
則$P（A）=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴f（x）在R上是增函數(shù)的概率是$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性的判定方法，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了恒成立問題的求解方法，是中檔題．