Question

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，過F₂的直線l與橢圓相交于A、B兩點，若△AF₁B的周長為8$\sqrt{3}$，則橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1．

Answer 1

分析 由已知得$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，4a=8$\sqrt{3}$，由此能求出橢圓C的標準方程．

解答 解：∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵過F₂的直線l與橢圓相交于A、B兩點，△AF₁B的周長為8$\sqrt{3}$，
∴4a=8$\sqrt{3}$，解得a=2$\sqrt{3}$，∴c=2，
∴b²=12-4=8，
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{8}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{8}$=1．

點評 本題考查橢圓的簡單性質的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質的合理運用．