Question

5．已知拋物線C：x²=4y的焦點為F，準線與y軸的交點為Q，過點Q的直線l與拋物線C相交于不同的A，B兩點．
（Ⅰ）若$|{AB}|=4\sqrt{15}$，求直線l的方程；
（Ⅱ）記FA、FB的斜率分別為k₁、k₂，試問：k₁+k₂的值是否隨直線l位置的變化而變化？證明你的結論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設l：y=kx-1代入x²=4y得：x²-4kx+4=0，利用弦長公式，結合$|{AB}|=4\sqrt{15}$，求直線l的方程；
（Ⅱ）利用斜率公式，結合由韋達定理，由此能夠得到k₁+k₂為定值．

解答 解：（Ⅰ）∵Q（0，-1）且直線斜率存在，∴可設l：y=kx-1，…（1分）
代入x²=4y得：x²-4kx+4=0，令△=16k²-16＞0?|k|＞1，…（2分）
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=4，…（3分）
∴$|{AB}|=\sqrt{（1+{k^2}）{{（{x_1}-{x_2}）}^2}}=\sqrt{（1+{k^2}）[{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}]}$=$\sqrt{（1+{k^2}）（16{k^2}-16）}=4\sqrt{{k^4}-1}$，…（5分）
∵$|{AB}|=4\sqrt{15}$，∴k⁴-1=15⇒k=±2∈（-∞，-1）∪（1，+∞），…（6分）
∴l(xiāng)：y=±2x-1．                             …（7分）
（Ⅱ）∵F（0，1），∴${k_1}+{k_2}=\frac{{{y_1}-1}}{x_1}+\frac{{{y_2}-1}}{x_2}=\frac{{{x_2}（{y_1}-1）+{x_1}（{y_2}-1）}}{{{x_1}{x_2}}}$
=$\frac{{{x_2}（k{x_1}-2）+{x_1}（k{x_2}-2）}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{2k{x_1}{x_2}-2（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{8k-8k}{4}=0$，…（11分）
∴k₁+k₂的值不隨直線l的變化而變化．                 …（12分）

點評 本題考查直線與拋物線位置關系的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高．