Question

16．已知斜率為$\frac{1}{2}$的直線l與拋物線y²=2px（p＞0）交于x軸上方的不同兩點(diǎn)A、B，記直線OA，OB的斜率分別為k₁，k₂，則k₁+k₂的取值范圍是（2，+∞）．

Answer 1

分析 直線方程為y=$\frac{1}{2}$x+b，即x=2y-2b，代入拋物線y²=2px，可得y²-4py+4pb=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式，即可求出k₁+k₂的取值范圍．

解答 解：設(shè)直線方程為y=$\frac{1}{2}$x+b，即x=2y-2b，
代入拋物線y²=2px，可得y²-4py+4pb=0，
△=16p²-16pb＞0，∴p＞b
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得y₁+y₂=4p，y₁y₂=4pb，
k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}（2{y}_{2}-2b）+（2{y}_{1}-2b）{y}_{2}}{（2{y}_{1}-2b）（2{y}_{2}-2b）}$=$\frac{16pb-8pb}{16pb-16pb+4^{2}}$=$\frac{2p}$＞2．
故答案為：（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查斜率的計(jì)算，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．