Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F₁（-c，0）、F₂（c，0），若離心率$e=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$（e≈0.618），則稱橢圓C為“黃金橢圓”．則下列三個(gè)命題中正確命題的個(gè)數(shù)是（　　）
①在黃金橢圓C中，a、b、c成等比數(shù)列；
②在黃金橢圓C中，若上頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)分別為E、B，則∠F₁EB=90°；
③在黃金橢圓C中，以A（-a，0）、B（a，0）、D（0，-b）、E（0，b）為頂點(diǎn)的菱形ADBE的內(nèi)切圓過焦點(diǎn)F₁、F₂．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 對(duì)于①，由e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，可得e²+e-1=0，運(yùn)用離心率公式和等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，即可判斷；
對(duì)于②，求出即有$\overrightarrow{E{F}_{1}}$=（-c，-b），$\overrightarrow{EB}$=（a，-b），運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可判斷；
對(duì)于③，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，由四邊形ADEB的面積可為四個(gè)三角形的面積，化簡(jiǎn)整理計(jì)算可得半徑r=c，即可判斷．

解答 解：對(duì)于①，由e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，可得e²+e-1=0，由e=$\frac{c}{a}$，a²-c²=b²，可得c²+ac-a²=0，即ac=b²，
則a，b，c成等比數(shù)列，故①正確；
對(duì)于②，在黃金橢圓C中，上頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)分別為E（0，b）、B（a，0），即有$\overrightarrow{E{F}_{1}}$=（-c，-b），
$\overrightarrow{EB}$=（a，-b），由①即有$\overrightarrow{E{F}_{1}}$•$\overrightarrow{EB}$=-ac+b²=0，則∠F₁EB=90°，故②正確；
對(duì)于③，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，由四邊形ADEB的面積可為四個(gè)三角形的面積，可得
$\frac{1}{2}$•2a•2b=4•$\frac{1}{2}$r•$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，解得r=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{3}c}{{a}^{2}+ac}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}c}{\frac{{a}^{2}}{c}}}$=c，則內(nèi)切圓過焦點(diǎn)，
故③正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，注意運(yùn)用離心率的公式，考查數(shù)量積的運(yùn)用判斷直角，同時(shí)考查四邊形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．