Question

11．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁、F₂，離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直線(xiàn)l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足|AF₁|+|AF₂|=4$\sqrt{2}，{K_{OA}}•{K_{OB}}=-\frac{1}{2}$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)橢圓離心率以及條件，求出a，bc的關(guān)系即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程，利用消元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理即可．

解答 解：（I）∵橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∵2a=|AF₁|+|AF₂|=4$\sqrt{2}$，
∴a=2$\sqrt{2}$，即c=2，則b²=4．
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+m，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$
得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0；
△=8（8k²-m²+4）＞0，
x₁+x₂=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
∵k_OAk_OB=-$\frac{1}{2}$，∴$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}=-\frac{1}{2}$，
∴y₁y₂=$-\frac{1}{2}$x₁x₂=$-\frac{1}{2}$•$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
又y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=k²•$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$+km•（$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$）+m²=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴-$\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
即-（m²-4）=m²-8k²，
∴4k²+2=m²，
則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{4{k}^{2}+2-4}{1+2{k}^{2}}=2-\frac{4}{1+2{k}^{2}}$，
∴-2=2-4≤$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＜2，
當(dāng)k=0時(shí)，（此時(shí)m²=2判別式△），即直線(xiàn)AB平行x軸時(shí)，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$最小值為-2．
當(dāng)斜率不存在時(shí)，x₁=x₂，y₁=-y₂，k_OAk_OB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}=-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}}=-\frac{1}{2}$，
∴x₁²=2y₁²，將A坐標(biāo)代入橢圓方程得y₁²=2，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的最大值為2．
綜上$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的最大值為2，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的最小值為-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓方程的求解以及直線(xiàn)斜率的計(jì)算，利用直線(xiàn)和橢圓方程的位置關(guān)系，利用設(shè)而不求的思想是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力，綜合性較強(qiáng)運(yùn)算量較大．