14．已知an=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）^{2}}$，Tn為{an}前n項(xiàng)和．求證：Tn＜3．

分析 把數(shù)列的通項(xiàng)公式放大，然后利用等比數(shù)列的求和公式求和后再放大得答案．

解答 證明：∵an=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）^{2}}$=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{2n}-2•{2}^{n}+1}＜\frac{1}{{2}^{n}-2}$$＜\frac{1}{{2}^{n-1}}$（n≥2），
∴Tn=a1+a2+…+an＜a1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=$2+（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}）$=$2+\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$3-\frac{1}{{2}^{n}}＜3$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了放縮法證明數(shù)列不等式，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

4．已知α，β都是銳角，cosα=$\frac{3}{5}$，cos（α+β）=-$\frac{5}{13}$．
（1）求sinα和tanα的值；
（2）求sin（α+β）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

5．設(shè)命題p：不等式（$\frac{1}{2014}$）x+4＞m≥4x-x2對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，命題q：f（x）=-（9-2m）x是R上的增函數(shù)，若p且q為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�
A．{m|m≠4}B．{m|m∈R}C．{m|m≤0}D．{m|m≤0或m≥4}

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

2．解方程：$\frac{\frac{1}{4}{p}^{2}}{16}$+$\frac{\frac{3}{4}{p}^{2}}{12}$=1．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

9．已知實(shí)數(shù)x、y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{xy≥0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}≤4}\\{x+y-1≤0}\end{array}\right.$，則z=2x+y的取值范圍是（　�。�
A．[-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$]B．[0，2]C．[-2$\sqrt{5}$，2]D．[$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，1]

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

4．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F重合，且橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與焦點(diǎn)F構(gòu)成正三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若橢圓在第一象限的一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，過(guò)點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同的直線PA、PB分別交橢圓于另外兩點(diǎn)A、B，求證：直線AB的斜率為定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

11．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且滿足|AF1|+|AF2|=4$\sqrt{2}，{K_{OA}}•{K_{OB}}=-\frac{1}{2}$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的最值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

8．定義在[0，+∞）的函數(shù)f（x），對(duì)任意x≥0，恒有f（x）＞f′（x），a=$\frac{f（2）}{e^2}$，b=$\frac{f（3）}{e^3}$，則a與b的大小關(guān)系為（　　）
A．a＞bB．a＜bC．a=bD．無(wú)法確定

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

9．已知函數(shù)f（x）=ax2-x+4，若函數(shù)g（x）=lgf（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案