Question

如圖，用鐵絲彎成一個(gè)上面是半圓，下面是矩形的圖形，其面積為am²，為使所用材料最省，底寬應(yīng)為多少米？

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)矩形的底寬為xm，則半圓的半徑為

x

2

m，可表示矩形面積，進(jìn)而表示矩形另一邊長，可得鐵絲的長為x的函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的極小值點(diǎn)，即最小值點(diǎn)，可得結(jié)果．

解答： 解：如圖，設(shè)矩形的底寬為xm，則半圓的半徑為

x

2

m，
半圓的面積為

π

8

x2m²，∴矩形的面積為（a-

π

8

x2）m²，
∴矩形的另一邊長為（

a

x

-

π

8

x）m．
因此鐵絲的長為l（x）=

πx

2

+x+2(

a

x

-

π

8

x)=（1+

π

4

）x+

2a

x

，0＜x＜

8a π

，
∴l′(x)=1+

π

4

-

2a

x2

．
令l′(x)=1+

π

4

-

2a

x2

=0，得x=±

8a 4+π

（負(fù)值舍去）．
當(dāng)x∈(0，

8a 4+π

)時(shí)，l′（x）＜0；當(dāng)x∈（

8a 4+π

，

8a π

）時(shí)，l′（x）＞0．
因此，x=

8a 4+π

是函數(shù)l（x）的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)．
所以，當(dāng)?shù)讓挒?span id="wqks2m4" class="MathJye">

8a 4+π

m時(shí)，所用材料最�。�

點(diǎn)評：該題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，在實(shí)際問題中正確建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型是解題關(guān)鍵．