Question

3．若以直角坐標(biāo)系xOy的O為極點(diǎn)，Ox為極軸，選擇相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=$\frac{6cosθ}{si{n}^{2}θ}$．
（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并指出曲線是什么曲線；
（2）若直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）當(dāng)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求|$\overrightarrow{AB}$|

Answer 1

分析 （1）將極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ，去分母即可得到直角坐標(biāo)方程；
（2）寫(xiě)出直線l參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，代入曲線C的普通方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義得出|AB|．

解答 解：（1）∵ρ=$\frac{6cosθ}{si{n}^{2}θ}$，∴ρ²sin²θ=6ρcosθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=6x．曲線為以（$\frac{3}{2}$，0）為焦點(diǎn)，開(kāi)口向右的拋物線．
（2）直線l的參數(shù)方程可化為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，代入y²=6x得t²-4t-12=0．
解得t₁=-2，t₂=6．
∴|$\overrightarrow{AB}$|=|t₁-t₂|=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，直線參數(shù)方程的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．