Question

8．如圖，在幾何體ABCDEF中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四邊形ACFE為矩形，F(xiàn)B=$\sqrt{10}$，M，N分別為EF，AB的中點．
（I）求證：MN∥平面FCB；
（Ⅱ）若直線AF與平面FCB所成的角為30°，求平面MAB與平面FCB所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解．

解答 證明：（I）取BC的中點Q，連接NQ，F(xiàn)Q，則NQ=$\frac{1}{2}$AC，NQ∥AC．
又MF=$\frac{1}{2}$AC，MF∥AC，所以MF=NQ，MF∥NQ，則四邊形MNQF為平行四邊形，即MN∥FQ．
∵PQ?平面FCB，MN?平面FCB，
∴MN∥平面．…5分
（Ⅱ）解：由AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°可得，∠ACB=90°．AC=$\sqrt{3}$，BC=1，AB=2，
因為四邊形ACFE為矩形，所以AC⊥平面FCB，
則∠AFC為直線AF與平面FCB所成的角，即∠AFC=30°，
∴FC=3．
∵FB=$\sqrt{10}$，∴FC⊥BC．
則可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，
∴A（$\sqrt{3}$，0，0）．B（0，1，0），M（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，3），則$\overrightarrow{MA}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，-3），$\overrightarrow{MB}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1，-3），
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）為平面MAB的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{m}=0}\\{\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{m}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}x-3z=0}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}x+y-3z=0}\end{array}\right.$．
取x=2$\sqrt{3}$，則$\overrightarrow{m}$=（2$\sqrt{3}$，6，1）為平面MAB的一個法向量．
又$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，0，0）為平面FCB的一個法向量，
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}×\sqrt{3}}{7×\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{7}$．
則平面MAB與平面FCB所成角的余弦值為$\frac{2\sqrt{3}}{7}$．…12分

點評 本小題主要考查線面平行的判斷和二面角的求解，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，綜合性較強(qiáng)，運算量較大．