Question

15．已知圓C：x²+（y-4）²=1，直線(xiàn)l：2x-y=0，點(diǎn)P在直線(xiàn)l上，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線(xiàn)PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B．
（1）若∠APB=60°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求證：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，P，C三點(diǎn)的圓必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由已知求得P到圓心C的距離為2，設(shè)出P的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式列式求得P的坐標(biāo)；
（2）設(shè)出P的坐標(biāo)，得到以PC為直徑的圓的方程為：x（x-a）+（y-4）（y-2a）=0，整理后由圓系方程求得經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，P，C三點(diǎn)的圓必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0，4）和$（\frac{8}{5}，\frac{16}{5}）$．

解答 （1）解：如圖，
由條件可得PC=2，設(shè)P（a，2a），則$\sqrt{{a^2}+{{（2a-4）}^2}}=2$，
解得a=2或$a=\frac{6}{5}$，
∴點(diǎn)P（2，4）或$P（\frac{6}{5}，\frac{12}{5}）$；
（2）證明：設(shè)P（a，2a），過(guò)點(diǎn)A，P，C的圓即是以PC為直徑的圓，
其方程為：x（x-a）+（y-4）（y-2a）=0，
整理得x²+y²-ax-4y-2ay+8a=0，
即（x²+y²-4y）-a（x+2y-8）=0．
由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}-4y=0}\\{x+2y-8=0}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}}\\{y=\frac{16}{5}}\end{array}}\right.$，
∴該圓必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0，4）和$（\frac{8}{5}，\frac{16}{5}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．