Question

14．設(shè)互不相等的平面向量組$\overrightarrow{a_i}$（i=1，2，…，n）滿(mǎn)足：
①|(zhì)$\overrightarrow{a_i}$|=2；
②$\overrightarrow{a_i}•\overrightarrow{a_j}$=0（1≤i，j≤n）．
若$\overrightarrow{T_n}=\overrightarrow{a_1}-\overrightarrow{a_2}+…+{（-1）^{n-1}}\overrightarrow{a_n}$，記b_n=|$\overrightarrow{T_n}{|^2}$，
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n為S_n=2n²+2n（n=1，2）．

Answer 1

分析 根據(jù)向量?jī)蓛纱怪笨芍�平面向量組只有兩個(gè)向量，代入計(jì)算即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{a_i}•\overrightarrow{a_j}$=0，∴$\overrightarrow{{a}_{1}}⊥\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}⊥\overrightarrow{{a}_{3}}$，
∵$\overrightarrow{{a}_{1}}≠\overrightarrow{{a}_{3}}$，∴$\overrightarrow{{a}_{3}}=-\overrightarrow{{a}_{1}}$．
∴$\overrightarrow{{a}_{1}}•\overrightarrow{{a}_{3}}$=-${\overrightarrow{{a}_{1}}}^{2}$，與$\overrightarrow{{a}_{1}}•\overrightarrow{{a}_{3}}=0$矛盾．
∴n最大值為2．
∴$\overrightarrow{{T}_{1}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{{T}_{2}}=\overrightarrow{{a}_{1}}-\overrightarrow{{a}_{2}}$．
∴b₁=${|\overrightarrow{{a}_{1}}|}^{2}=4$，b₂=|$\overrightarrow{{a}_{1}}-\overrightarrow{{a}_{2}}$|²=${\overrightarrow{{a}_{1}}}^{2}+{\overrightarrow{{a}_{2}}}^{2}$=8．
∴S₁=4，S₂=12．
∴S_n=2n²+2n．
故答案為2n²+2n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力和計(jì)算能力．