Question

4．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₂作斜率為-2的直線交雙曲線的漸近線于P，Q兩點，M為線段PQ的中點，若直線MF₁平行于其中一條漸近線，則該雙曲線的離心率為$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 通過題意，分析可得PM=MQ=QF₂，利用相似比的性質可得Q點縱坐標的3倍等于P點縱坐標，再通過離心率的公式計算即可．

解答 解：如圖，設F₂（c，0），根據(jù)題意，得直線PF₂的方程為：y=-2（x-c），
雙曲線的漸近線為$y=±\frac{a}x$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-2（x-c）}\\{y=\frac{a}x}\end{array}\right.$，解得Q（$\frac{2ac}{2a+b}$，$\frac{2bc}{2a+b}$），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-2（x-c）}\\{y=-\frac{a}x}\end{array}\right.$，解得P（$\frac{2ac}{2a-b}$，$-\frac{2bc}{2a-b}$），
∵M為線段PQ的中點，若直線MF₁平行于其中一條漸近線，
∴PM=MQ=QF₂，所以3×$\frac{2bc}{2a+b}$=$-\frac{2bc}{2a-b}$，
化簡得：b=4a，所以e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{17{a}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{17}$，
故答案為：$\sqrt{17}$．

點評 本題考查雙曲線，相似比的性質，找出關系PM=MQ=QF₂是解決本題的關鍵，屬于中檔題．