Question

19．某電影院第一排共有9個(gè)座位，現(xiàn)有3名觀眾前來就座，若他們每?jī)蓚�(gè)人都不能相鄰且要求每人左右至多只有兩個(gè)空位，那么不同的坐法種數(shù)共有（　�。�

• A． 18
• B． 48
• C． 42
• D． 56

Answer 1

分析 根據(jù)題意，先排好6個(gè)空座位，分析可得，有1種情況，再將3人全排列后，插插入空檔中，有4種插法，進(jìn)而由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案

解答 解：先考慮3名觀眾已經(jīng)就座，3名觀眾內(nèi)是全排列，即${A}_{3}^{3}$=6種，再考慮剩余的6個(gè)空位怎么排放，根據(jù)要求可把這6分空位2，2，2和1，1，2，2兩種情況，
分類討論：第一類，分成2，2，2，
3名觀眾形成4個(gè)插空，而中間兩個(gè)插空必須占，故只有兩種情況，此時(shí)共有2${A}_{3}^{3}$=12種，
第二類分成1，1，2，2，則4個(gè)插空都必須占，可先選兩個(gè)插入一個(gè)空位，剩余兩個(gè)自然放2個(gè)空位，故有${C}_{4}^{2}$=6種插空法，由分步乘法原理可得這類情況有${C}_{4}^{2}•{A}_{3}^{3}$=36種，
故共有12+36=48
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列、組合的運(yùn)用，需要注意題意中三個(gè)人有順序要求，需要對(duì)其求全排列，屬于中檔題