Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n+（$\frac{2}{n}$+1）a_n=2（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n=2ⁿ•a_n，它的前n項和為T_n，求數(shù)列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n項和A_n
（3）在（2）的條件下，求數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$}的前n項和B_n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列遞推式求得${a}_{1}=\frac{1}{2}$，再得另一遞推式兩式作差得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{1}{2}•\frac{n}{n-1}$（n≥2），利用累積求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由b_n=2ⁿ•a_n求得{b_n}的通項公式得到$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，然后利用錯位相減法求得數(shù)列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n項和A_n；
（3）直接利用等比數(shù)列的前n項和得答案．

解答 解：（1）由S_n+（$\frac{2}{n}$+1）a_n=2，得${a}_{1}=\frac{1}{2}$，
又${S}_{n-1}+（\frac{2}{n-1}+1）{a}_{n-1}=2$（n≥2），
兩式作差得：${a}_{n}+（\frac{2}{n}+1）{a}_{n}-（\frac{2}{n-1}+1）{a}_{n-1}=0$，
即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{1}{2}•\frac{n}{n-1}$（n≥2），
則：$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{1}{2}•\frac{2}{1}$，
$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{1}{2}•\frac{3}{2}$，
…
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{1}{2}•\frac{n}{n-1}$（n≥2），
累積得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}=\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴${a}_{n}=\frac{n}{{2}^{n}}$；
（2）由b_n=2ⁿ•a_n=${2}^{n}•\frac{n}{{2}^{n}}=n$，得
T_n=$_{1}+_{2}+…+_{n}=1+2+…+n=\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n項和A_n=$2（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$2（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{2n}{n+1}$；
（3）$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{\frac{n}{{2}^{n}}}{n}=\frac{1}{{2}^{n}}$，
則B_n=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了累積法求數(shù)列的通項公式，訓(xùn)練了裂項相消法求數(shù)列的前n項和，是中檔題．