Question

18．已知拋物線y²=4x，過拋物線焦點且傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線與拋物線交于A、B兩點，則|AB|=（　�。�

• A． $\frac{11}{3}$
• B． $\frac{14}{3}$
• C． 5
• D． $\frac{16}{3}$

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點坐標(biāo)F（1，0），用點斜式設(shè)出直線方程：y=$\sqrt{3}$（x-1），與拋物線方程聯(lián)解得一個關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合曲線的弦長的公式，可以求出線段AB的長度．

解答 解：根據(jù)拋物線y²=4x方程得：焦點坐標(biāo)F（1，0），
直線AB的斜率為k=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$
由直線方程的點斜式方程，設(shè)AB：y=$\sqrt{3}$（x-1）
將直線方程代入到拋物線方程當(dāng)中，得：3（x-1）²=4x
整理得：3x²-10x+3=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{10}{3}$，x₁•x₂=1，所以弦長|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+3}$$\sqrt{{（x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{16}{3}$．
故選：D．

點評 本題以拋物線為載體，考查了圓錐曲線的弦長問題，屬于難題．本題運用了直線方程與拋物線方程聯(lián)解的方法，對運算的要求較高．利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式是解決本題的關(guān)鍵．