Question

7．已知函數(shù)f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N⁺）的圖象與直線x=1交于點P，若圖象在點P處的切線與x軸交點的橫坐標為x_n，則log₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄的值為（　　）

• A． log₂₀₁₅2014
• B． 1
• C． -log₂₀₁₅2014
• D． -1

Answer 1

分析 由f′（x）=（n+1）xⁿ，知k=f′（1）=n+1，故點P（1，1）處的切線方程為：y-1=（n+1）（x-1），令y=0，得x_n=$\frac{n}{n+1}$，運用對數(shù)的性質(zhì)和累乘法，能求出log₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N⁺）的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=（n+1）xⁿ，
切線斜率k=f′（1）=n+1，
點P（1，1）處的切線方程為：y-1=（n+1）（x-1），
令y=0得，x=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
即x_n=$\frac{n}{n+1}$，
∴x₁•x₂•…•x₂₀₁₅=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$×…×$\frac{2014}{2015}$=$\frac{1}{2015}$，
則log₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄=log₂₀₁₅（x₁•x₂•…•x₂₀₁₅）
=log₂₀₁₅$\frac{1}{2015}$=-1．
故選D．

點評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線上某點的切線方程的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意對數(shù)性質(zhì)的靈活運用和累乘法的運用．