20.若f(x)=ex-ax2+(a-e)x有三個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
A.(0,+∞)B.(0,e)C.[1,e)D.(e,+∞)

分析 由題意可得f(1)=0,則方程轉(zhuǎn)化為a=$\frac{{e}^{x}-ex}{{x}^{2}-x}$有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.設(shè)g(x)=$\frac{{e}^{x}-ex}{{x}^{2}-x}$,求出導(dǎo)數(shù),判斷函數(shù)值的符號(hào)和對(duì)x討論,x<0,0<x<1,x>1三種情況,判斷單調(diào)性,畫(huà)出圖象,即可得到所求a的范圍.

解答 解:函數(shù)f(x)=ex-ax2+(a-e)x,
可得f(1)=e-a+a-e=0,
即有x=1為f(x)的一個(gè)零點(diǎn),
則ex-ax2+(a-e)x=0,
即為a=$\frac{{e}^{x}-ex}{{x}^{2}-x}$有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.
設(shè)g(x)=$\frac{{e}^{x}-ex}{{x}^{2}-x}$,
由y=ex-ex的導(dǎo)數(shù)為y′=ex-e,
當(dāng)x>1時(shí),y′>0,y=ex-ex遞增;
當(dāng)x<1時(shí),y′<0,y=ex-ex遞減.
即有x=1處,y=ex-ex取得最小值,且為0,
即ex-ex≥0,
當(dāng)x<0時(shí),x2-x>0,g(x)>0;
當(dāng)0<x<1時(shí),g(x)<0;當(dāng)x>1時(shí),g(x)>0.
由g(x)的導(dǎo)數(shù)為g′(x)=$\frac{{x}^{2}{e}^{x}-3x{e}^{x}+e{x}^{2}}{({x}^{2}-x)^{2}}$,
可設(shè)h(x)=x2ex-3xex+ex+ex2
顯然當(dāng)x<0時(shí),h(x)>0,即g′(x)>0,g(x)在(-∞,0)遞增;
又h(x)=xex(x+$\frac{1}{x}$-3+$\frac{ex}{{e}^{x}}$),
再令m(x)=x+$\frac{1}{x}$-3+$\frac{ex}{{e}^{x}}$,
m′(x)=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{e(1-x)}{{e}^{x}}$=(x-1)($\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{{e}^{x}-ex}{x{e}^{x}}$),
即0<x<1時(shí),m(x)遞減;x>1時(shí),m(x)遞增.
則m(x)>m(1)=0,h(x)>0在(0,1)∪(1,+∞)恒成立,
即有g(shù)′(x)>0在(0,1)∪(1,+∞)恒成立,
則g(x)在(0,1),(1,+∞)遞增,
畫(huà)出函數(shù)y=g(x)的圖象,可得a>0時(shí),
函數(shù)y=g(x)的圖象和直線(xiàn)y=a有兩個(gè)交點(diǎn).
綜上可得,a>0時(shí),f(x)=ex-ax2+(a-e)x有三個(gè)不同的零點(diǎn).
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 不同考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的解法,注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想方法,構(gòu)造函數(shù)和運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性,畫(huà)出圖象是解題的關(guān)鍵,屬于難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

10.已知數(shù)列{an}、{bn}中,對(duì)任何正整數(shù)n都有:a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2.
(1)若數(shù)列{an}是首項(xiàng)和公差都是1的等差數(shù)列,求b1,b2,并證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(2)若數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,數(shù)列{an}是否是等差數(shù)列,若是請(qǐng)求出通項(xiàng)公式,若不是請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

11.已知不共線(xiàn)的向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b,|{\overrightarrow a}|=2,|{\overrightarrow b}|=3,\overrightarrow a•({\overrightarrow b-\overrightarrow a})=1$,則$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$=( 。
A.$\sqrt{3}$B.$2\sqrt{2}$C.$\sqrt{7}$D.$\sqrt{23}$

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8.計(jì)算$cos({π+\frac{π}{3}})cos({2π+\frac{π}{3}})cos({3π+\frac{π}{3}})…cos({100π+\frac{π}{3}})$得( 。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

15.如圖,已知△ABC,a、b分別為角A、B的對(duì)邊,設(shè)A(bcosα,bsinα),∠AOB=β,D為線(xiàn)段AB的中點(diǎn).
定義:M(x1,y1),N(x2,y2)的中點(diǎn)坐標(biāo)為$({\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}\;,\;\;\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}})$.
若a=2,b=1,且點(diǎn)D在單位圓上,求cosβ的值.

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5.設(shè)a、b、c∈R,且3a=4b=6c,則以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為( 。
①若a、b、c∈R+,則3a<4b<6c
②a、b、c∈R+,則$\frac{2}{c}=\frac{1}{a}+\frac{2}$
③a、b、c∈R-,則a<b<c.
A.1B.2C.3D.0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

12.給出如下命題:
①“在△ABC中,若sinA=sinB,則A=B”為真命題;
②若動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0)的距離之和為8,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線(xiàn)段;
③若p∧q為假命題,則p,q都是假命題;
④設(shè)x∈R,則“x2-3x>0”是“x>4”的必要不充分條件;
⑤若實(shí)數(shù)1,m,9成等比數(shù)列,則圓錐曲線(xiàn)$\frac{x^2}{m}+{y^2}=1$的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$.
其中,所有正確的命題序號(hào)為①②④.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

9.已知△ABC在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,則cos∠ABC=( 。
A.$\frac{3}{10}$B.$\frac{2}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{4}{5}$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

10.觀(guān)察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,…,則52017的末四位數(shù)字為(  )
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同步練習(xí)冊(cè)答案